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质数的定义是什么或者怎样理解质数贾思乐

文章来源:乐亚娱乐网  |  2022-07-19

质数的定义是什么?或者怎样理解质数?

质数,在《数论》上习惯称为素数(也叫做,不可约数),是一类特殊的整数。

素数被定义为:

只能被 1 和 自身整除的 正整数,但 1 除外。

(由于整数关于 0 对称,于是只要将正整数部分的研究清楚了,负整数也就清楚了,因此一般不讲负素数。)

数学家发现,任何一个正整数(1 除外),都可以唯一的表示为有限个素数的乘积,每个素数称为该整数的素因子,整个乘积称为该整数的素因子分解。例如:

6 = 2×3

当然,素因子可以重复,例如:

12 = 2 × 2 × 3

因为 如果 1 也是素数,则:

6 = 2×3 = 1×2×3 = 1 × 1 ×2×3 = ...

于是,为了,素因子分解结果唯一,我们不得不让 1 排除在 素数 之外。

素数可以理解为:乘法运算中不可再分解的数,而加法中不可再分解的数只有1。我们可以通过1不断相加得到所有正整数,同样我们可以通过素数相互不断相乘得到所有正整数(1除外)。

从正整数中找到素数是首要的问题!可以直接根据定义,一个个数判断,但这样太慢,数学家一般使用从正整数中排除不是素数的数(称为合数,1除外)的办法,称为筛选法。

如果,正整数 a > 1 的 素因子分解 为:

a = p? × p? × ... × p?

则,一定存在一个素因子 p ∈ {p?, p?, ... p? } 使得 p ≤ ?√a。

这个很显然!如果,每个p? > ?√a,则 p? × p? × ... × p? >( ?√a)? = a,矛盾。而我们知道,素数在做素因子分解时,只有一个因子,即它自己,例如:

3 = 3

而合数 最少 两个,例如:

6 = 2×3

于是 合数 a 必然存在 素因子 p ≤ √a。

于是,我们需要找出 N 内的 素数,只需要 找到 √N 内的素数,然后 用这些 素数 去判断 √N 到 N 之间的 正整数 是否是 合数,将是合数的删掉,剩下的就是 素数。这称为 Eratoschenes(埃拉托斯特尼) 筛选法。实例如下:

我们先找到 10 以内的 素数:2,3,5,7;然后 对 10 到 102 = 100 进行筛选:

用 2 筛掉:11, 12, ... , 99, 100;

用 3 筛掉:11, 13, 15, 17, ... , 97, 99;

用 5 筛掉:11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 35, ..., 95, 97;

用 7 筛掉:11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, ..., 91, 97;

于是得到:11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97;有了 100 以内 的素数,然后,对 100 到 1002 = 10000 进行筛选 ...

(其实,在具体用 p 进行筛选时,只需要从 p2 开始筛选就可以了,因为 小于 p2 的数,如果具有 p 因子,则 一定具有 小于 p 的素因子,这已经被之前的小于 p 的素因子筛掉了。)

(头条里多位老师也给出了自己的筛选法,大家可以参考借鉴!)

那么,我们使用 筛选法是否可以将 素数 筛完呢?答案是不可能,因为:

素数有无穷多个。

这是一个著名定理,证明如下:

假设,素数有限,记为 p?, p?, ..., p? 。现在,令 a = p? × p? × ... × p? + 1,显然 a 不是任意 一个 素数,且 大于 2, 于是 a 必然是合数,于是存在 素数 p? | a (| 表示 整除)。而 p? 是 p?, p?, ..., p? 中的一员,于是 p? | p? × p? × ... × p?,进而 p? | (a - p? × p? × ... × p?) ,即 p? | 1,于是 p? = 1,而 p? 是素数 必然 p? > 1,矛盾。将素数从 小到大排列,记为,

p? = 2, p? = 3, p? = 5, ...

数学家发现:

p? ≤ 2^{2??1}

因为:

上面那个定理的证明过程,还说明,在 p? 到 a = p? × p? × ... × p? + 1 之间必然有 一个 素数 p???,即,

p??? ≤ p? × p? × ... × p? + 1,

利用这个结果,进行如下证明:

● 当 r = 1 时,显然 p? = 2 ≤ 2^{21?1} = 21 = 2,定理成立;

● 如果 当 r ≤ i 时,命题成立,即,

p? ≤ 2^{2?}, p? ≤ 2^{21}, ..., p? ≤ 2^{2??1},

则 当 r = i + 1 时,根据 前面的 不等式,有:

p??? ≤ p? × p? × ... × p? + 1 ≤ 2^{2?} × 2^{21} × ... ×2^{2??1} + 1 = 2^{2? + 21 + ... + 2??1} + 1 = 2^{2? - 1} + 1 ≤ 2^{2? - 1} + 2^{2? - 1} = 2 × 2^{2? - 1} = 2^{2?};归纳得证。如果,将不超过 x 的 素数个数,记为 π(x),则上面的命题等价于:

π(x) > log?(log?x)

因为:

对于任意 x ≥ 2 ,显然有 唯一正整数 r 使得:

2^{2??1} ≤ x < 2^{2?},

● 由上面的左边不等式得到:π(2^{2??1}) ≤ π(x) ,而前面已经证明了 p? ≤ 2^{2??1},而 到 p? 的素数 当然是 r 个 所以:r ≤ π(2^{2??1}),于是,最终有:

r ≤ π(x),

● 由上面的右边不等式得到:

log?(log?x) < r,

综上可到:log?(log?x) < π(x)。素数的定义虽然很简单,但是确意想不到的麻烦!数学家至今依然没有找到素数在正整数中的准确分布规律。

(杨老师<@杨式素数>,在这方面很有研究,大家有兴趣可以去他那里请教。)

(黎曼猜想有助于解决素数分布问题!)

(退而求其次,数学家还发明的 伪素数的概念:

如果 n | 2? - 2,称 n 为 伪素数,如果 对于任意 整数 a 都有 n | a? - a 称 n 为 绝对伪素数。

关于,伪素数分布 也是一个研究方向。)

除了 2 其它素数都是 奇数,2 是最小的素数,3 是最小的奇数素数。

两个相邻的奇数如果都是素数称为孪生素数,例如:3 和 5,5 和 7 , 11 和 13, ...。

三个相邻奇数是素数的情况,只能是: 3,5,7 这一种情况,因为:

假设,相邻三个相邻奇数,a, b, c > 3 都是素数,其中 b = a + 2,c = a + 4。由于 a 是素数,因此 3 ? a(? 表示 不能整除)于是 a = 3n + 1 或 3n + 2。

● 当 a = 3n + 1 时,b = a + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3(n+1),显然 3 | b,故 b 不是素数,矛盾;

● 当 a = 3n + 2 时,c = a + 4 = 3n + 2 + 4 = 3n + 6 = 3(n + 2),显然 3 | c,故 c 不是素数,矛盾;以上证明,也说明了三个以上相邻的奇数是素数不可能。

于是,研究特殊的 孪生素数 就有了价值。但是 比 素数 还不争气,数学家连孪生素数是否有无穷多个都没办法证明。

(数学家 张益唐 在这方面取得了 巨大突破!)

最后,和素数相关的一个概念是 两个整数 a, b 互素,即 a, b 之间 a ? b 并且 b ? a,两个素数一定互素,例如:

3, 5

但两个 合数 也可以 互素,例如:

9, 25

互素在代数里也同样至关重要。

(小石头对于《数论》是门外汉,头条里作这方面研究的大神众多!小石头在这里纯粹是班门弄斧,欢迎各位老师莅临指导!)

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